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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 1115: Inverse Relationen

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Sei $ M$ eine Menge, und die Relation

$\displaystyle I_M=\{(x,x)\vert x\in M\} \subseteq M\times M $

heiße identische Relation oder Identität in $ M$. Seien $ N$ und $ O$ weitere Mengen. Zeigen Sie, dass
  1. nicht für jede Relation $ R\subseteq M\times N$ die Gleichungen

    $\displaystyle R\circ R^{-1} =$ $\displaystyle I_N\,,$    
    $\displaystyle R^{-1}\circ R =$ $\displaystyle I_M\,$    

    erfüllt ist. D.h. es gibt zwar (nach Definition) zu jeder Relation eine Inverse, aber diese ist keine Inverse im Sinne von Funktionen.
  2. dass gilt

    $\displaystyle \big(R^{-1}\big)^{-1} = R\\ $

  3. für eine weitere Relation $ R_2\subseteq N\times O$

    $\displaystyle (R_2\circ R)^{-1} = R^{-1}\circ R_2^{-1} $

    gilt.
(Aus: Mathematik 1 für Informatik und Softwaretechnik WS05/06; Teufel/Röhrl)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 19. 12. 2005