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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 1118: Größter gemeinsamer Teiler und Primzahlen

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Seien $ a$,$ b$,$ c$,$ d$,$ x$,$ y$$ \in$ $ \mathbb{N}$ und $ p$ eine Primzahl. Beweisen Sie folgende Aussagen:
  1. Zeigen Sie $ \mathrm{ggT}(ab,cb)=b\cdot\mathrm{ggT}(a,c)$. Als unmittelbare Folgerung halten wir

    $\displaystyle d\vert x\land d\vert y\Rightarrow d\vert\mathrm{ggT}(x,y) $

    fest. Tipp: Ein eleganter Beweis hierfür benutzt den Euklidischen Algorithmus.
  2. Bestimmen Sie $ \mathrm{ggT}(ab,pb)$, wenn $ p$ kein Teiler von $ a$ ist.
  3. Zeigen Sie

    $\displaystyle p\vert ab \Rightarrow p\vert a \lor p\vert b\,. $

    (Teilt eine Primzahl ein Produkt, dann auch einen der Faktoren.)
  4. (Fundamentalsatz der Arithmetik) Jede natürliche Zahl $ n\geq 2$ lässt sich bis auf die Reihenfolge der Faktoren auf genau eine Weise als Produkt von Primzahlen schreiben.
(Aus: Mathematik 1 für Informatik und Softwaretechnik WS05/06; Teufel/Röhrl)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 19. 12. 2005