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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 1122: Polarkoordinaten und komplexe Zahlenebene

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Es seien die komplexen Zahlen $ x=\frac{\sqrt{2}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\,\mathrm{i}$, $ y=1+\sqrt{3}\,\mathrm{i}$ und $ z=6\big(\cos(\frac{5}{6}\pi)+\mathrm{i}\sin(\frac{5}{6}\pi)\big)$ gegeben.

a)
Geben Sie $ x$ und $ y$ in Polarkoordinaten an. Verwenden Sie dabei keine Näherungen für die Argumente, sondern geben Sie diese exakt an.

b)
Berechnen Sie $ x^2$, $ x^3$, $ y^2$, $ y^3$, $ x\cdot z$, $ \frac{\displaystyle y}{\displaystyle\Bar{z}}$, $ x+z$ und $ y-\Bar{z}$. Verwenden Sie zur Berechnung die Darstellung in Polarkoordinaten, wenn es Ihnen sinnvoll erscheint. In diesen Fällen ist es legitim das Ergebnis in Polarkoordinaten anzugeben.

c)
Geben Sie von den komplexen Zahlen $ e^{\mathrm{i}\frac{\pi}{2}}$, $ e^{\mathrm{i}\frac{\pi}{4}}$ und $ e^{\mathrm{i}\frac{\pi}{3}}$ jeweils Real- und Imaginärteil an und skizzieren Sie die Zahlen in der komplexen Zahlenebene.
(Aus: HM I Stroppel WS 2005/2006)

Lösung:

[Verweise]
  automatisch erstellt am 19. 12. 2005