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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 1123: Eigenschaften des komplexen Skalarproduktes


A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Wir betrachten den komplexen Vektorraum $ \mathbb{C}^n$. Für die Vektoren $ v=(v_1,\ldots,v_n)\in\mathbb{C}^n$ und
$ w=(w_1,\ldots,w_n)\in\mathbb{C}^n$ sei

$\displaystyle \langle v,w\rangle :=\sum_{j=1}^n v_j\overline{w_j}
$

definiert. Zeigen Sie, dass für alle $ u,v,w\in\mathbb{C}^n$ und alle $ \alpha\in\mathbb{C}$ gilt:
  1. $ \langle u,v\rangle = \overline{\langle v,u\rangle}$
  2. $ \langle u,u\rangle \in\mathbb{R}^+_0$ und $ \langle u,u\rangle = 0 \Leftrightarrow u=0$
  3. $ \langle u,v+w\rangle = \langle u,v\rangle + \langle u,w\rangle$
  4. $ \alpha\langle u,v\rangle = \langle \alpha\, u,v\rangle = \langle u,\Bar{\alpha}\,
v\rangle$
(Aus: HM I Stroppel WS 2005/2006)

siehe auch:


[Lösungen]

  automatisch erstellt am 19. 12. 2005