Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Aufgabe 1123: Eigenschaften des komplexen Skalarproduktes

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	Aufgabe 1123: Eigenschaften des komplexen Skalarproduktes

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Wir betrachten den komplexen Vektorraum $\mathbb{C}^n$ . Für die Vektoren $v=(v_1,\ldots,v_n)\in\mathbb{C}^n$ und
$w=(w_1,\ldots,w_n)\in\mathbb{C}^n$ sei

$\displaystyle \langle v,w\rangle :=\sum_{j=1}^n v_j\overline{w_j}$

definiert. Zeigen Sie, dass für alle $u,v,w\in\mathbb{C}^n$ und alle $\alpha\in\mathbb{C}$ gilt:

$\langle u,v\rangle = \overline{\langle v,u\rangle}$
$\langle u,u\rangle \in\mathbb{R}^+_0$ und $\langle u,u\rangle = 0 \Leftrightarrow u=0$
$\langle u,v+w\rangle = \langle u,v\rangle + \langle u,w\rangle$
$\alpha\langle u,v\rangle = \langle \alpha\, u,v\rangle = \langle u,\Bar{\alpha}\, v\rangle$

(Aus: HM I Stroppel WS 2005/2006)

siehe auch:

Stichwort: Skalarprodukt

[Lösungen]

automatisch erstellt am 19. 12. 2005