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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 1139: Homomorphismen, Gruppen und Normalteiler

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Sei $ \sigma\in S_n$. Man betrachte die Paare $ (i,j)$ mit $ 1\leq i<j\leq n$. Ein Paar $ (i,j)$ heißt Fehlstand, wenn $ \sigma(i)>\sigma(j)$ ist.

Sei die Abbildung

$\displaystyle \psi: S_3 \longrightarrow (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z},+), \sigma \mapsto\big[ \vert\{(i,j): (i,j) \textrm { Fehlstand von } \sigma \} \vert \big] $

gegeben.
  1. Zeigen Sie, dass $ \psi$ ein Gruppenhomomorphismus ist.
  2. Bestimmen Sie die Untergruppe $ \operatorname{Kern}\, \psi$ indem Sie ihre Elemente angeben.
  3. Zeigen Sie durch explizites Nachrechnen, dass $ \operatorname{Kern}\, \psi$ Normalteiler von $ S_3$ ist.
  4. Zeigen Sie, dass alle zweielementigen Untergruppen von $ S_3$ keine Normalteiler sind.
(Aus: Mathematik 1 für Informatik und Softwaretechnik WS05/06; Teufel/Röhrl)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 22. 12. 2005