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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 1155: Basis, Matrixdarstellung

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Es sei $ A_{\lambda}:=\left(\begin{matrix} -4-\lambda & 5 & -5 \\ -2 &3-\lambda& -2 \\ 1 &-1 & 2-\lambda \end{matrix}\right)$ gegeben, und es seien $ \lambda_1=1$, $ \lambda_2=1$, $ \lambda_3=-1$ die Nullstellen des Polynoms $ c(\lambda):=\operatorname{det}(A_{\lambda})$. Außerdem sei $ \alpha\colon\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3\colon x\mapsto A_0\, x$.

  1. Bestimmen Sie Vektoren $ b_1$, $ b_2$, $ b_3$ derart, dass $ A_{\lambda_j}b_j=0$ für $ j\in\{1,2,3\}$ gilt und dass $ B\colon b_1, b_2, b_3$ eine Basis ist.
  2. Geben Sie die Matrixdarstellung $ _B\alpha_B$ an.
  3. Berechnen Sie $ \sum_{k=0}^{5}\frac{1}{k!}\left(_E\alpha_E\right)^k$.

    Hinweis: Die Matrix $ _B\alpha_B$ hilft dabei.

(Aus: HM I Stroppel WS 2005/2006)

Lösung:

[Verweise]
  automatisch erstellt am 29. 12. 2005