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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 1194: Potenzierung von Matrizen durch Diagonalisierung

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Gegeben sind die Matrizen

$\displaystyle A = \frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2 \end{pmatrix}\;$   und $\displaystyle \quad B = \begin{pmatrix} 8 & - 2 \\ - 2 & 5 \end{pmatrix}\; . $

  1. Überprüfen Sie, dass $ {A} {A}^t = {A}^t {A}$ gleich der Einheitsmatrix ist. Berechnen Sie $ {D} = {A}^t {B} {A}$ und zeigen Sie, dass $ D$ eine Diagonalform der Gestalt

    $\displaystyle {D} = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 \\ 0 & \lambda_2 \end{pmatrix}$

    besitzt. Was erhält man für $ {D}^n \ (n \in \mathbb{N})$ ?
  2. Begründen Sie, dass $ {B}^n = {A} {D}^n {A}^t$ gilt, und berechnen Sie damit $ {B}^n$ für $ n \in \mathbb{N}$ .
(Aus: Mathematik 1 für Informatik und Softwaretechnik WS05/06; Teufel/Röhrl)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 19.  5. 2006