Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Aufgabe 1196: Nachweis der Eigenschaften eines Skalarprodukts definiert über Polynome

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	Aufgabe 1196: Nachweis der Eigenschaften eines Skalarprodukts definiert über Polynome

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Wir betrachten die Menge $\mathbb{R}[X]$ der reellen Polynome. Für $p,q\in\mathbb{R}[X]$ sei

$\displaystyle \langle p,q\rangle :=\int_0^1 p(x)\, q(x)\, dx$

definiert. Zeigen Sie, dass dies für alle $p,q,r\in\mathbb{R}[X]$ und alle $\alpha\in\mathbb{R}$ die Eigenschaften

$\langle p,q\rangle = \langle q,p\rangle$
$\big(\langle p,p\rangle \geq 0\big)\land\big(\langle p,p\rangle = 0 \Leftrightarrow p=0\big)$
$\langle p,q+r\rangle = \langle p,q\rangle + \langle p,r\rangle$
$\alpha\langle p,q\rangle = \langle \alpha\, p,q\rangle = \langle p,\alpha\, q\rangle$

eines Skalarproduktes besitzt.

(Aus: HM I Stroppel WS 2005/2006)

automatisch erstellt am 19. 1. 2006