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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 1199: Bestimmen der Fixpunktmenge einer affinen Abbildung

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Gegeben ist die Matrix

$\displaystyle A=\frac{1}{3}\left(\begin{matrix} 1 & -2 & 2 \\ -2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 1 \end{matrix}\right) $

sowie der Vektor $ s=(2,2,-2)$. Damit wird die affine Abbildung $ \sigma\colon\mathbb{R}^3\rightarrow\mathbb{R}^3\colon v\mapsto Av+s$ definiert.

  1. Bestimmen Sie die Fixpunktmenge $ \mathrm{Fix}(\sigma)=\Big{\{}v \in \mathbb{R}^3 \Big\vert \sigma(v)=v\Big{\}}$.

    Zeigen Sie: $ \mathrm{Fix}(\sigma)$ ist eine affine Ebene.

  2. Stellen Sie für den Punkt $ P=(p_1,p_2,p_3)$ eine Gerade $ f$ auf, die die Punkte $ P$ und $ \sigma(P)$ enthält.

    Verifizieren Sie, dass die Gerade $ f$ die Ebene $ \mathrm{Fix}(\sigma)$ orthogonal durchstößt.

(Aus: HM I Stroppel WS 2005/2006)

Lösung:

[Verweise]
  automatisch erstellt am 25.  1. 2006