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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 1210: Bestimmung des charakteristischen Polynoms, der Eigenwerte und Eigenräume einer Matrix sowie Konstruktion einer Basis

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Gegeben ist die Abbildung $ \alpha\colon\mathbb{R}^5\rightarrow\mathbb{R}^5\colon x\mapsto Ax$, die durch die folgenden Matrix $ A$ beschrieben wird:

$\displaystyle A=\left(\begin{matrix} -2& 0 & 0 & 0 & 0 \\ 4 &-2 &-\frac{3}{2} ... ... & -\frac{3}{4} & \frac{1}{4} & \frac{1}{4} \end{matrix}\right)\in\mathbb{R}^5$.

  1. Bestimmen Sie das charakteristische Polynom $ \chi^{}_A(\lambda)$ für $ A$.
  2. Bestimmen Sie die Eigenwerte und die zugehörigen Eigenräume von $ A$. Wählen Sie die Nummerierung der Eigenwerte so, dass $ \lambda_1$ der negative Eigenwert ist.
  3. Konstruieren Sie nun eine Basis: Wählen Sie einen Eigenvektor $ f_1\in V(\lambda_1)$ zum negativen Eigenwert $ \lambda_1$. Wählen Sie nun einen Vektor $ f_2$ so, dass $ (A-\lambda_1E_3)f_2=f_1$. Ergänzen Sie die so gewonnenen Vektoren zu einer Basis, indem Sie aus den verbleibenden Eigenräumen drei linear unabhängige Vektoren $ f_3,f_4,f_5$ wählen.

  4. Bestimmen Sie die Darstellungsmatrix $ _F\alpha_F$ bezüglich der Basis $ F\colon f_1,f_2,f_3,f_4,f_5$.

(Aus: HM I Stroppel WS 2005/2006)

Lösung:

[Verweise]
  automatisch erstellt am 6.  2. 2006