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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 1218: Gram-Schmidt'sches Orthonormalisierungsverfahren

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Zu jeder Menge linear unabhängiger Vektoren $ \vec{v}_1,\dots,\vec{v}_n$ gibt es ein Orthonormalsystem $ \vec{w}_1,\dots ,\vec{w}_n$ mit

$\displaystyle \operatorname{Span}\left(\vec{v}_1,\dots,\vec{v}_k\right) = \oper... ...vec{w}_1,\dots,\vec{w}_k\right)\,,\quad \textrm{ f\uml ur alle } 1\leq k\leq n $

Man beweist diese Aussage mit Induktion über $ n$:

ist $ n=1$, so ist

$\displaystyle \vec{w}_1=\frac{\vec{v}_1}{\Vert\vec{v}_1\Vert} $

ein Orthonormalsystem mit $ \operatorname{Span}\left(\vec{v}_1\right)=\operatorname{Span}\left(\vec{w}_1\right)$.

Für $ n=2$ setzt man $ \tilde{\vec{w}}_2= \vec{v}_2 + \alpha\vec{w}_1$ und bestimmt $ \alpha$ so, dass $ \tilde{\vec{w}}_2 \perp \vec{w}_1$:

$\displaystyle 0 = \langle \tilde{\vec{w}}_2,\vec{w}_1\rangle = \langle \vec{v}_2,\vec{w}_1\rangle + \alpha \langle \vec{w}_1,\vec{w}_1\rangle$    

Es ergibt sich also $ \alpha= - \langle \vec{v}_2,\vec{w}_1\rangle$ und somit $ \tilde{\vec{w}}_2= \vec{v}_2 - \langle \vec{v}_2,\vec{w}_1\rangle \vec{w}_1\neq 0$ da $ \vec{v}_2,\vec{w}_1$ linear unabhängig sind. Es ist also

$\displaystyle \vec{w}_2 = \frac{\tilde{\vec{w}}_2}{\Vert\tilde{\vec{w}}_2\Vert} $

der gesuchte Vektor.
  1. Vollenden Sie den Beweis mit dem Induktionsschritt.
  2. Wenden Sie das Schmidt'sche Orthonormalisierungsverfahren auf den Unterraum

    $\displaystyle \operatorname{Span}\left( \vec{a}_1,\vec{a}_2,\vec{a}_3\right) \s... ... 4\\ 4 \end{pmatrix}\,, \vec{a}_3= \begin{pmatrix} 1\\ 9\\ 5\\ 8 \end{pmatrix}$

    bezüglich des Standard-Skalarprodukts an.
(Aus: Mathematik 1 für Informatik und Softwaretechnik WS05/06; Teufel/Röhrl)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 14.  2. 2006