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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 1228: Die Vierecksungleichung und Vergleich von Metriken

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Zeigen Sie folgende Aussagen.
  1. Für jede Metrik $ d$ gilt die Vierecksungleichung

    $\displaystyle \vert d(x,y) -d(z,w)\vert \leq d(x,z)+d(y,w) $

  2. Sind auf einem Raum $ E$ zwei Metriken $ d_1$ und $ d_2$ erklärt, so nennt man $ d_1$ stärker als $ d_2$, wenn für alle $ x\in E$ und alle Folgen $ (x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ in E aus $ d_1(x_n,x)\to 0$ stets $ d_2(x_n,x)\to0$ folgt. In anderen Worten, wenn Konvergenz einer Folge $ (x_n)_{n\in\mathbb{N}}$ bzgl.  $ d_1$ die Konvergenz der Folge bzgl.  $ d_2$ mit dem selben Grenzwert impliziert. Ist $ d_1$ stärker als $ d_2$ und gleichzeitig $ d_2$ stärker als $ d_1$, so heißen $ d_1$ und $ d_2$ äquivalent.

    Zeigen Sie, dass die Hammingmetrik $ d_H$ äquivalent zur Diskreten Metrik $ d$ auf dem Raum $ X=\{0,1\}^n$ für ein $ n\in \mathbb{N}$ ist.

(Aus: Mathematik 1 für Informatik und Softwaretechnik WS05/06; Teufel/Röhrl)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 19.  5. 2006