Mo Logo [Home] [Lexikon] [Aufgaben] [Tests] [Kurse] [Begleitmaterial] [Hinweise] [Mitwirkende] [Publikationen]
Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 1229: metrische Räume sind topologische Räume

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Sei $ (X,d)$ ein metrischer Raum. Zeigen Sie, dass
  1. die Vereinigung einer beliebigen Anzahl offener Mengen wieder offen ist.
  2. der Durchschnitt einer endlichen Anzahl offener Mengen wieder offen ist.
  3. sowohl die leere Menge $ \emptyset$ als auch die ganze Menge $ X$ offen und abgeschlossen sind.

Zeigen Sie, dass in 2. die Endlichkeit des Durchschnitts eine wichtige Rolle spielt, indem Sie ein Beispiel in $ (\mathbb{R},d_2)$ dafür finden, dass der Durchschnitt unendlich vieler offener Mengen nicht mehr offen zu sein braucht.

Anmerkung: Ein Raum, der die Eigenschaften 1.-3. erfüllt, heißt auch topologischer Raum. Aber nicht jeder topologische Raum besitzt auch eine Metrik. Metrische Räume sind also Spezialfälle topologischer Räume.

(Aus: Mathematik 1 für Informatik und Softwaretechnik WS05/06; Teufel/Röhrl)

siehe auch:

  automatisch erstellt am 19.  5. 2006