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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 1234: Stetigkeit bei Produkten und Kompositionen von Funktionen in metrischen Räumen

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Seinen $ X,Y$ und $ Z$ metrische Räume und $ f,g: X\to Y$, $ h:Y\to Z$ Abbildungen. Zeigen Sie folgende Aussagen.
  1. Sind $ f$ und $ g$ stetig in $ x_0\in X$ und $ Y=\mathbb{R}$, so ist auch $ fg:X\to \mathbb{R}$ mit $ fg(x)=f(x)g(x)$ stetig in $ x_0$.
  2. Ist $ f$ stetig in $ x_0$ und $ h$ stetig in $ y_0=f(x_0)$, so ist ist auch $ h\circ f:X\to Z$ mit $ h\circ f(x)=h(f(x))$ stetig in $ x_0$.
Hinweis: Wenn man will, kann man auch $ X=Y=Z=\mathbb{R}$ annehmen; der Beweis ist im Wesentlichen der Gleiche.
(Aus: Mathematik 1 für Informatik und Softwaretechnik WS05/06; Teufel/Röhrl)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 19.  5. 2006