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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 1254: Abschätzung von Ableitungen bei der eindimensionalen Wärmeleitungsgleichung

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Zeigen Sie, dass sich die $ k$-te Ableitung einer Lösung der Wärmeleitungsgleichung

$\displaystyle u_t = u_{xx},\quad x\in\mathbb{R},\,t>0\,, $

durch

$\displaystyle \Vert u^{(k)}(\cdot,t)\Vert _2 \le (k/(2et))^{k/2} \Vert u(\cdot,0)\Vert _2 $

mit $ \Vert f\Vert _2^2 = \int_{\mathbb{R}} \vert f(x)\vert^2\,dx$ abschätzen läßt. Insbesondere ist also $ u$ für $ t>0$ unendlich oft differenzierbar.
(Autoren: Höllig/Hörner)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 18.  1. 2017