Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Aufgabe 1323: Abgeschlossene und kompakte Mengen

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	Aufgabe 1323: Abgeschlossene und kompakte Mengen

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1.: Sei $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ eine stetige Funktion und seien $-\infty\leq a\leq b\leq\infty$ . Zeige, daß die Menge $A=\{x\in\mathbb{R}^n\vert\; a\leq f(x)\leq b\}$ abgeschlossen ist.
2.: Zeige, daß die -dimensionale Kugel $K=\{x\in\mathbb{R}^n\vert\; \Vert x\Vert\leq 1\}$ und ihre Oberfläche $O=\{x\in\mathbb{R}^n\vert\; \Vert x\Vert=1\}$ jeweils kompakt sind.
3.: Zeige, daß die Menge $K=\{(\frac{\cos x}{x}\;,\;\frac{\sin x}{x})^\mathrm{t}\in\mathbb{R}^2\vert\; x\geq 2\pi\} \cup\{(0,0)^\mathrm{t}\}$ kompakt ist.

(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)

Lösungen:

automatisch erstellt am 11. 8. 2006