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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 1324: Jacobimatrix von Koordinatentransformationen und ihre Determinante

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

1.
Berechne jeweils die Jacobimatrix von $ f$ und deren Determinante. Ist $ f$ differenzierbar?

(a)
$ f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2,\; (r, \varphi)^\mathrm{t} \mapsto (r \cos \varphi, r \sin \varphi)^\mathrm{t}$ (Polarkoordinaten).
(b)
$ f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3,\; (r, \varphi, z)^\mathrm{t} \mapsto (r \cos \varphi, r \sin \varphi, z)^\mathrm{t}$ (Zylinderkoordinaten).
(c)
$ f: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3,\; (r,\varphi,\psi)^\mathrm{t} \mapsto (r (\sin\varphi) (\cos\psi), r(\sin\varphi) (\sin\psi), r \cos\varphi)^\mathrm{t}$ (Kugelkoordinaten).

2.
Es sei $ f: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ zweimal stetig differenzierbar. Die Transformation in Polarkoordinaten liefert eine Funktion $ F(r, \varphi) := f(r \cos \varphi, r \sin \varphi)$.

Berechne alle partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung von $ F$. Zeige, daß im Punkt $ (x,y)^\mathrm{t} = (r \cos \varphi, r \sin \varphi)^\mathrm{t} \in \mathbb{R}^2\setminus\{0\}$ folgendes gilt.

$\displaystyle \begin{array}{rcl} f_x & = & F_r \cos \varphi - \dfrac{1}{r}\; F_... ...+ \dfrac{1}{r}\; F_r + \dfrac{1}{r^2}\; F_{\varphi \varphi} \; .\\ \end{array}$

(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)

Lösungen:

[Verweise]
  automatisch erstellt am 14.  2. 2008