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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 1341: Volumen der n-dimensionalen Kugel

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

Sei $ n\in\mathbb{Z}_{\ge 1}$ , und sei $ r \ge 0$ .

Sei $ K_n(r)=\{(x_1,\dots,x_n)^\mathrm{t}\in\mathbb{R}^n\ \vert\ x_1^2+\dots+x_n^2\leq r^2\}$ eine $ n-$ dimensionale Kugel mit Radius $ r$ .

Wir setzen $ c_m:=\displaystyle\int_{-\pi/2}^{\pi/2}(\cos\varphi)^m\; \mathrm{d}\varphi$ für $ m\in\mathbb{Z}_{\ge 1}$ .

Zeige.

  1. Es gilt $ \mathrm{vol}(K_n(r))=r^nc_1\cdot\dots\cdot c_n$ .

  2. Es gilt für $ n\geq 2$ die Rekursionsgleichung $ n c_n = (n-1) c_{n-2}$ .

  3. Es gilt $ c_n =\begin{cases} \par \pi\prod\limits_{k=1}^{n/2}{\left(1-\frac{1}{2k}\right... ...{(n-1)/2}{\left(1+\frac{1}{2k}\right)^{-1}}, & n\mathrm{ ungerade.} \end{cases}$ .

  4. Für $ m\in\mathbb{Z}_{\ge 1}$ gelten die Volumenformeln

    \begin{displaymath} \begin{array}{rcl} \mathrm{vol}(K_{2m}(r)) & = & \dfrac{\pi^... ...\cdot 3\cdot 5\cdot\ldots\cdot (2m-1)}\ r^{2m-1}\ . \end{array}\end{displaymath}

(Autoren: Künzer/Martin/Tentler/Wahrheit)

siehe auch:

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  automatisch erstellt am 11.  8. 2006