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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 1406: Konvergenz uneigentlicher Integrale

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Es sei $ \alpha\in \left\{\smash{\xi\in\mathbb{R}}\left\vert% \vphantom{\smash{\xi\in\mathbb{R}}}\vphantom{\smash{\xi>1}}\right.\,\smash{\xi>1}\right\} $ ein fest gewählter Parameter.
a)
Bestimmen Sie die Grenzwerte $ \lim\limits_{x\to+\infty}x\,{\sin}{\left(\frac{1}{x}\right)}$ und $ \lim\limits_{x\to+\infty}x\,{\ln}{\left(1+\frac{1}{x}\right)}$ .
b)
Berechnen Sie das uneigentliche Integral

$\displaystyle \int\limits_1^{+\infty} \frac{1}{x^\alpha}\, d x\,$.

c)
Was lässt sich daraus für die Konvergenz der folgenden uneigentlichen Integrale herleiten?

$\displaystyle \int\limits_1^{+\infty} \left({\sin}{\left(\frac{1}{x}\right)}\right)^\alpha\, d x, \quad$ $\displaystyle \quad \int\limits_1^{+\infty} \left({\ln}{\left(1+\frac{1}{x}\right)}\right)^\alpha\, d x$    

(Aus: HM II Stroppel SS 2006)

Lösung:

[Verweise]
  automatisch erstellt am 13. 12. 2007