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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 1410: Differenzierbarkeit und Niveaulinien einer Funktion von zwei Veränderlichen

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Gegeben sei die Funktion

$\displaystyle f(x,y)=\left(x^2+y^2\right)\left(\sqrt{x^2+y^2}-1\right)\,. $

a)
Bestimmen Sie die Mengen:

$\displaystyle G_0:$ $\displaystyle \quad f(x,y)=0$    
$\displaystyle G_+:$ $\displaystyle \quad f(x,y)>0$    
$\displaystyle G_-:$ $\displaystyle \quad f(x,y)<0$    

b)
Zeigen Sie, dass jeder Kreis mit Mittelpunkt $ (0,0)$ Teil einer Niveaulinie von $ f$ ist. Geben Sie eine Funktion $ \nu\colon\mathbb{R}^+_0\rightarrow\mathbb{R}\colon r\mapsto \nu(r)$ an, die dem Radius $ r$ des Kreises das zugehörige Niveau $ \nu(r)$ des Kreises zuordnet.
c)
Bestimmen Sie die Richtungsableitung von $ f$ im Punkt $ (x_0,y_0)\neq \left(0,0\right)$ in Richtung der Tangente an die Niveaulinie durch $ (x_0,y_0)$ .

Hinweis: Beschreibt $ v\in\mathbb{R}^2$ einen Punkt auf einem Kreis mit Mittelpunkt $ (0,0)$ , dann ist die Tangente an den Kreis durch $ v$ stets senkrecht zu $ v$ .
(Aus: HM II Stroppel SS 2006)

Lösung:

[Verweise]
  automatisch erstellt am 14.  2. 2008