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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 1414: Skizzen, kritische Punkte, Gradient und Hesse-Matrix zweier Funktionen mehrerer Veränderlicher

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Gegeben seien die Funktionen

$\displaystyle g(x,y,z)=z(x^2+y-1)(y^2-1)$   und$\displaystyle \quad \tilde{g}(x,y)=g(x,y,1). $

a)
Geben Sie den Gradienten und die Hesse-Matrix von $ g$ an.
b)
Bestimmen und skizzieren Sie die Mengen

$\displaystyle \widetilde{G}_0:$ $\displaystyle \quad \tilde{g}(x,y)=0$    
$\displaystyle G_0:$ $\displaystyle \quad g(x,y,z)=0$    
$\displaystyle \widetilde{G}_+:$ $\displaystyle \quad \tilde{g}(x,y)>0$    
$\displaystyle \widetilde{G}_-:$ $\displaystyle \quad \tilde{g}(x,y)<0$    

c)
Bestimmen Sie alle kritische Punkte von $ \tilde{g}$ sowie deren Typ.

Zusatz: Bestimmen Sie alle kritischen Punkte von $ g$ und die Mengen:

$\displaystyle G_+:$ $\displaystyle \quad g(x,y,z)>0$    
$\displaystyle G_-:$ $\displaystyle \quad g(x,y,z)<0$    

(Aus: HM II Stroppel SS 2006)

siehe auch:

[Lösungen]
  automatisch erstellt am 22.  7. 2008