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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 1418: mathematische Messungen

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Bei einem Experiment werden Werte an Stellen $ x\in \left[-1,1\right]$ gemessen.
a)
Bei der ersten Messung wird für $ n\in\mathbb{N}$ an der Stelle $ \frac{1}{n}$ der Wert $ \frac{1}{2n}$ gemessen. Welchen Messwert erwarten Sie für die Messung an der Stelle 0?
b)
Bei der zweiten Messung wird für $ n\in\mathbb{N}$ an der Stelle $ -\frac{1}{n}$ der Wert $ -\frac{1}{2n}+\frac{1}{2}$ gemessen. Welchen Messwert erwarten Sie nun für die Messung an der Stelle 0?
c)
Eine theoretische Untersuchung zeigt, dass die bei dem Experiment zugrunde liegende Funktion die folgende Gestalt hat.

\begin{displaymath} f\colon\left[-1,1\right]\rightarrow\mathbb{R}\colon x\mapsto... ...+\frac{1}{2} & \text{f''ur $x\in\left[-1,0\right]$} \end{cases}\end{displaymath}

Wie stark weicht Ihre Erwartung bei a) und b) von dem theoretisch zu bestimmenden Wert ab?
d)
Eine weitere Messmethode ist mit dem Nachteil behaftet, dass die Stelle $ x_0$, an der gemessen wird, nur bis auf die Abweichung $ d$ genau bestimmbar ist. Tasächlich wird also der Wert an einer Stelle $ x\in U_d(x_0)=\left(x_0-d,x_0+d\right)$ gemessen. Sie wollen den Wert an der Stelle $ x_0=0$ messen. Wie groß kann der Fehler sein (der Fehler ist die Abweichung zwischen Ihrem Messwert und dem durch $ f$ bestimmten Wert)?

Zusatz: In welchen Intervallen des Messbereichs können Sie mit einem vergleichsweise kleinen Fehler rechnen, in welchen Intervallen müssen sie einen vergleichsweise großen Fehler erwarten? Wie groß wird der Fehler maximal?

Versuchen Sie eine stetige Funktion $ \tilde{f}$ zu finden, die das gemessene Phänomen möglichst gut beschreibt, bei der der maximale Fehler zwischen Messung und $ \tilde{f}$ bei vorgegebener Toleranz $ d$ nur noch halb so groß ist im Vergleich zur Verwendung von $ f$.

(Aus: HM II Stroppel SS 2006)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 25.  8. 2006