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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 1424: Eigenschaften der Hyperbelfunktionen

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Die Hyperbelfunktionen Cosinus hyperbolicus und Sinus hyperbolicus sind durch die Zuordnungen

$\displaystyle \cosh(x)=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$   und$\displaystyle \quad \sinh(x)=\frac{e^x-e^{-x}}{2} $

definiert. Im Folgenden seien nur reelle Argumente betrachtet.
a)
Geben Sie von $ \cosh$ und $ \sinh$ den maximalen Definitionsbereich und den Wertebereich an.
b)
Untersuchen Sie die beiden hierdurch gewonnenen Funktionen auf Symmetrie zur $ y$-Achse ( $ f(x)=f(-x)$) und zum Ursprung ( $ f(x)=-f(-x)$).
c)
Skizzieren Sie die Graphen der Funktionen.
d)
Geben Sie die beiden Funktionen jeweils als Potenzreihe um den Entwicklungspunkt 0 an und bestimmen deren Konvergenzradien.
e)
Beweisen Sie, dass unabhängig von $ x$ das folgende Additionstheorem gilt:

$\displaystyle \left(\cosh(x)\right)^2-\left(\sinh(x)\right)^2=1\,$.

Zusatz: Verallgemeinern Sie die Ergebnisse, indem Sie die Definitionsbereiche in $ \mathbb{C}$ bestimmen.
(Aus: HM II Stroppel SS 2006)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 25.  8. 2006