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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 1438: "Universalsubstitution" für Integrationen

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
a)
Zeigen Sie, dass für $ x\in\mathbb{R}\setminus \left\{\smash{(2k+1)\pi}\left\vert% \vphantom{\smash{(... ...)\pi}}\vphantom{\smash{k\in\mathbb{Z}}}\right.\,\smash{k\in\mathbb{Z}}\right\} $ bei Verwendung der ,,Universalsubstitution`` $ u\colon x\mapsto {\tan}{\left(\frac{x}{2}\right)}$ gilt:

$\displaystyle u'(x)=\frac{1+\big(u(x)\big)^2}{2}\,$,   $\displaystyle \sin(x)=\frac{2u(x)}{1+\big(u(x)\big)^2}\,$,   $\displaystyle \cos(x)=\frac{1-\big(u(x)\big)^2}{1+\big(u(x)\big)^2}\,$.    

Hinweis: $ \sin(x)=2{\sin}{\left(\frac{x}{2}\right)}\cdot{\cos}{\left(\frac{x}{2}\right)}$ und $ \cos(x)=\left({\cos}{\left(\frac{x}{2}\right)}\right)^2-\left({\sin}{\left(\frac{x}{2}\right)}\right)^2$.
b)
Führen Sie damit folgende Integrale auf rationale Integranden zurück:

$\displaystyle \int \frac{1}{\sin(x)}\, d x\,$,   $\displaystyle \int \frac{1}{1-\cos(x)}\, d x\,$,   $\displaystyle \int \frac{1+\sin(x)}{\sin(x)(1+\cos(x))}\, d x\,$.    

(Aus: HM II Stroppel SS 2006)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 25.  8. 2006