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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 1442: Konvergenzradien, Stammfunktionen und geschlossene Formen reeller Potenzreihen

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Die Funktionen $ f_1$ und $ f_2$ sind als reelle Potenzreihen gegeben durch

$\displaystyle f_1(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty (-1)^kx^k, \quad$ $\displaystyle \quad f_2(x)=\sum\limits_{k=0}^\infty (-1)^kx^{2k}\,$.    

a)
Berechnen Sie für $ i\in\{1,2\}$ den Konvergenzradius $ \rho_i$ der Potenzreihe von $ f_i$.
b)
Bestimmen Sie zu den Funktionen $ f_i$ jeweils eine Stammfunktion $ F_i$ durch gliedweise Integration.
c)
Stellen Sie die Funktionen $ f_i$ in geschlossener Form dar.
d)
Berechnen Sie daraus erneut Stammfunktionen der Funktionen $ f_i$. Was lässt sich über die Taylorreihen zum Entwicklungspunkt 0 dieser Stammfunktionen aussagen?
(Aus: HM II Stroppel SS 2006)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 7.  9. 2006