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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 1449: zweidimensionale Kurvendiskussion

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Gegeben ist die Funktion

$\displaystyle f\colon \mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\colon (x,y)\mapsto x^2y^2-x^2-y^2+1\,$.

a)
Skizzieren Sie jeweils die Mengen der Punkte $ (x,y)\in\mathbb{R}^2$, für die $ f(x,y)=0$, $ f(x,y)>0$ beziehungsweise $ f(x,y)<0$ gilt.
b)
Berechnen Sie $ \operatorname{grad} f$ und $ \mathrm{H}f$.
c)
Bestimmen Sie den Typ der Schmiegquadrik an den Graph von $ f$ im Punkt $ (0,0)$.
d)
Geben Sie alle kritischen Punkte von $ f$ an (d. h. Punkte mit $ \operatorname{grad} f=0$).
e)
Bestimmen Sie alle Extrema von $ f$.
f)
Schränken Sie $ f$ auf den Einheitskreis $ \{(x,y)\in\mathbb{R}^2\,\vert\,x^2+y^2=1\}$ bzw. die Gerade $ \{(x,y)\in\mathbb{R}^2\,\vert\, x=y\}$ ein und untersuchen Sie unter diesen Nebenbedingungen $ f$ erneut auf Extrema.
(Aus: HM II Stroppel SS 2006)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 25.  8. 2006