Mathematik-Online-Aufgabensammlung: Aufgabe 1453: Niveaulinien, Gradient, Jacobi-Matrix und Rotation einer Funktion

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	Aufgabe 1453: Niveaulinien, Gradient, Jacobi-Matrix und Rotation einer Funktion

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Gegeben ist die Funktion $h\colon\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}\colon (x,y)\mapsto x^2y^2$ .

a)

Skizzieren Sie die Niveaulinien von

b)

Bestimmen Sie $\operatorname{grad} h(x,y)$ .

c)

Veranschaulichen Sie die Funktion $\tilde{h}\colon\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2\colon (x,y)\mapsto \operatorname{grad} h(x,y)$ mittels einer Skizze.

d)

Bestimmen Sie die Jacobi-Matrix $\mathrm{J}\tilde{h}(x,y)$ .

e)

Für eine Funktion $f\colon\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2:(x,y)\mapsto\big(f_1(x,y),f_2(x,y)\big)$ ist die Rotation $\operatorname{rot} f$ durch folgende Zuordnung definiert:

$\displaystyle \operatorname{rot} f(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}f_2(x,y)-\frac{\partial}{\partial y}f_1(x,y)\,\text{.}$

Bestimmen Sie $\operatorname{rot} \tilde{h}(x,y)$ .

(Aus: HM II Stroppel SS 2006)

[Verweise]

automatisch erstellt am 25. 8. 2006