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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 148: Leibnizsche Differentiationsformel, homogene lineare Differentialgleichung n-ter Ordnung

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

a)
Beweisen Sie die Leibnizsche Differentiationsformel

$\displaystyle (fg)^{(n)} =\sum_{k=0}^n \left(\!\begin{array}{c} n \\ k\end{array}\!\right) f^{(k)} g^{(n-k)} \, , $

für alle $ n$-mal differenzierbaren Funktionen $ f$ und $ g$.
b)
Sei $ \lambda\in\mathbb{R}$ eine doppelte Nullstelle des reellen Polynoms

$\displaystyle p(x)=x^3+a_2x^2+a_1x+a_0. $

Zeigen Sie mit Hilfe von a), daß die Funktionen

$\displaystyle f_k(x)=x^k{\rm {e}}^{\lambda x},\qquad k\in\{0, 1\}, $

Lösungen der Differentialgleichung $ y'''+a_2y''+a_1y'+a_0y=0$ sind.

(Aus: Kimmerle, SS 2002)

Lösung:

[Verweise]
  automatisch erstellt am 2.  9. 2005