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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 175: Diskussion einer als Potenzreihe gegebenen Funktion

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Gegeben sei die Potenzreihe

$\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n x^n = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n(n+1)} = \frac{x}{2}+\frac{x^2}{6}+\frac{x^3}{12}+\frac{x^4}{20}+\ldots$    


a)
Zeigen Sie, daß die obige Reihe auf $ (0,1)$ mit der Funktion

$\displaystyle f(x)=1+\frac{(1-x)\ln (1-x)}{x} $

übereinstimmt. Schreiben Sie dazu $ a_n$ als Differenz zweier Brüche und fassen Sie Glieder mit gleichen Koeffizienten zusammen.
b)
Zeigen Sie, daß $ f$ auf $ (0,1)$ streng monoton wachsend ist.
c)
Bestimmen Sie die Grenzwerte $ {\displaystyle{\lim_{x\to 0+0}\ f(x)}}$ und $ {\displaystyle{\lim_{x\to 1-0}\ f(x)}}$.
d)
Berechnen Sie $ {\displaystyle{\int_0^1 xf(x)\,dx}}$.

(Autor: Apprich)

Lösung:

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  automatisch erstellt am 2.  9. 2005