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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 199: Differenzieren einer implizit definierten Funktion und quadratisches Taylor-Polynom

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Gegeben sei die Funktion

$\displaystyle f(x,y)=xy+\ln(2x+y)\,. $

a)
Zeigen Sie, dass die Gleichung $ f(x,y)=0$ in einer Umgebung des Punktes $ (x_0,y_0)=(0,1)$ nach $ y=y(x)$ auflösbar ist.
b)
Berechnen Sie durch implizites Differenzieren $ y^{\prime}(0)$ und $ y^{\prime\prime}(0)$.
c)
Bestimmen Sie für die Funktion $ y(x)$ das Taylor-Polynom vom Grad zwei um den Nullpunkt.
(K. Höllig, HM-Prüfungsaufgabe Herbst 1991)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 12.  3. 2018