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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 204: Partielle Ableitungen und Extrema einer Funktion zweier Veränderlicher

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Gegeben sei die Funktion $ f:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} $ mit

$\displaystyle f(x,y)=(x^2+xy-2y^2)e^{-\vert y\vert}\,. $

a)
Bestimmen und skizzieren Sie die positiven un negativen Bereiche von $ f$ in der $ (x,y)$ -Ebene.
b)
Zeigen Sie, dass für $ (x,y)\in G_1\cup G_2$ mit

$\displaystyle G_1 : y\geq 0,\, -2y \leq x \leq y$   und$\displaystyle \quad G_2 : y\leq 0,\, y \leq x \leq -2y\,, $

die Ungleichung

$\displaystyle \vert f(x,y)\vert \leq K(y)$    mit $\displaystyle \lim\limits_{\vert y\vert\to\infty}K(y) =0\,. $

gilt.
c)
Berechnen Sie die partiellen Ableitungen erster Ordnung von $ f$ für $ y>0$ und $ y<0$ sowie die Grenzwerte

$\displaystyle \lim\limits_{y \to 0 \atop y > 0} f_y(x,y)$   und$\displaystyle \quad \lim\limits_{y \to 0 \atop y < 0} f_y(x,y)\,,\quad x\in\mathbb{R}. $

d)
Die Funktion $ f(x,0)=x^2 $ besitzt ein globales Minimum für $ x = 0$ . Untersuchen Sie, ob an der Stelle $ (0,0) $ auch ein Extremum von $ f(x,y)$ vorliegt.
(Aus: H95, Walk)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 22.  7. 2008