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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 218: Laplace-Operator einer radialsymmetrischen Funktion

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Für eine Funktion $ f:\;\mathbb{R}^n\mapsto \mathbb{R}$ ist der $ \Delta $-Operator wie folgt definiert:

$\displaystyle \Delta f=\sum_{i=1}^n\frac{\partial^2}{\partial x_i^2} f(x),\,x\in\mathbb{R}^n$

Es sei nun $ f$ eine radialsymmetrische Funktion, d.h. $ f(x_1,x_2,\ldots,x_n)=f(r)=f(\sqrt{\sum_{i=1}^n x_i^2})$.
  1. Stellen Sie $ \Delta f(x)$ mit Hilfe der Ableitungen von $ f(r)$ dar.
  2. Lösen Sie die Differentialgleichung $ \Delta f(x)=0$ für $ n=2$ und $ n=3$.
(Aus: HM III mach, bau, umw WS 2002/03)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 2.  9. 2005