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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 295: Differentialgleichung eines Vektorfeldes, integrierender Faktor

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Gegeben sei das zwei-dimensionale Vektorfeld

$\displaystyle v(x,y):= \begin{pmatrix} 2xy\\ y^2-x^2 \end{pmatrix}\qquad (x,y) \in \mathbb{R}^2, $

und die Differentialgleichung

$\displaystyle x^2-y^2+2xyy' = 0. $

a)
Zeigen Sie, dass die Differentialgleichung nicht exakt ist, aber einen integrierenden Faktor $ \mu=\mu(x)$ besitzt.
b)
Geben Sie die Funktion $ U(x,y)$ an, die die Lösungen $ y$ der Differentialgleichung in impliziter Form $ U(x,y(x)) = c$ mit $ c\in\mathbb{R}$ beschreibt.
c)
Begründen Sie, dass die Vektoren $ v(x,y)$ Tangentenvektoren an die Kurven $ U(x,y)=c$ sind und damit diese Kurven die Feldlinien des Vektorfeldes darstellen. Skizzieren Sie das Vektorfeld und die Feldlinien.
(Aus: HM III mach, bau, umw WS 2002/03)

Lösung:

[Verweise]
  automatisch erstellt am 2.  9. 2005