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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 314: Fluss eines Vektorfeldes durch eine Kurve, Satz von Green, Bogenlänge

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(Teil einer Prüfungsaufgabe, Herbst 1994)

Gegeben sei die ebene Kurve

$\displaystyle C(t)= (\cos^{3}(t),\sin^{3}(t)),\qquad t\in [0,2\pi). $

a)
Geben Sie eine parameterfreie Gleichung für diese Kurve an.
b)
Skizzieren Sie die Kurve und berechnen Sie ihre Bogenlänge.
c)
Berechnen Sie den Flächeninhalt des von der Kurve eingeschlossenen ebenen Bereichs mit einem Linienintegral unter Anwendung des Greenschen Satzes.
d)
Berechnen Sie den Fluß$ \,$ des ebenen Vektorfeldes $ V(x,y)= (x-y,x+y)$ durch $ C$ von innen nach außen direkt und mit einem Flächenintegral (Greenscher Satz!).

Hinweis:

$\displaystyle \begin{array}{lllll} {\displaystyle \par \int \cos^{n}x\, {\rm d}... ...c{n-1}{n} \int \sin^{n-2}x\, {\rm d}x.} \end{array} \quad (n \in \NN, n\geq 2) $

(Aus: Teil einer Prüfungsaufgabe, Herbst 1994)

Lösung:

[Verweise]
  automatisch erstellt am 2.  9. 2005