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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 351: Zeichnen einer Fläche, Arbeitsintegral, Satz von Stokes

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Gegeben seien die Fläche $ S$ mit der Darstellung

$\displaystyle X \, (t, \varphi) = \left(t^2 - 2, t \cos \varphi, t \sin \varphi \right)^\mathrm{t} , \, t \in [ 0, \sqrt{2}], \, \varphi \in [0, \pi] , $

und das Vektorfeld

$\displaystyle g (x,y,z) = (y,-z,x)^\mathrm{t} . $

a)
Welche Schnittkurven ergeben sich, wenn man die Fläche $ S$ mit den Ebenen $ y = 0$ bzw. $ z = 0$ bzw. $ x = c \;\; (c \in [-2,0]) \; $ schneidet?
Skizzieren Sie die Fläche $ S$ und ihre Randkurve $ C$.
Wie groß ist der Flächeninhalt $ F(S)\,$?
b)
Berechnen Sie den Betrag des Arbeitsintegrals $ \int_C g \, dx$ direkt, indem Sie $ C$ geeignet parametrisieren.
c)
Bestätigen Sie das Ergebnis aus b) mit Hilfe des Satzes von Stokes.


Hinweis: Die Beziehung $ \; \int \sin^2 u \, d u = \frac{1}{2} u - \frac{1}{4} \sin 2u \;$ kann verwendet werden.

(Aus: HM III mach, bau, umw WS 2002/03)

siehe auch:

[Lösungen]
  automatisch erstellt am 2.  9. 2005