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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 352: Volumen eines Körpers und Fluss eines Vektorfeldes durch einen Körper

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Gegeben sei der Körper $ \,K\,$, der von den Flächen $ \;z=1-x^2\;$ und $ \;x^2+y^2=1\;$ sowie der $ xy$-Ebene eingeschlossen wird.

a)
Beschreiben Sie kurz die einzelnen Bestandteile der Randfläche $ \,S\,$ des Körpers $ \,K\,$ (Bodenfläche, Seitenfläche, Deckfläche).

b)
Berechnen Sie das Volumen von $ \,K\,$.

c)
Gegeben sei das Vektorfeld

$\displaystyle g(x,y,z) = (xy+yz^2\;,\; xz+2xy^2 z\;,\;2z-2xyz^2)^\mathrm{t}\;. $

Berechnen Sie mit Hilfe des Satzes von Gauß den Fluss $ \,\phi\,$ des Vektorfeldes $ g$ durch die Randfläche $ \,S\,$ von innen nach außen.

d)
Berechnen Sie den Fluß

$\displaystyle \phi_1 = \displaystyle{ \iint\limits_{S_1} }\; g \cdot n\,dO $

des Vektorfeldes $ \,g\,$ durch die Deckfläche $ \,S_1\,$. Hierbei sei die Orientierung so gewählt, daß die $ z$-Komponente des Normalenvektors positiv ist.

(Aus: HM III mach, bau, umw WS 2002/03)

Lösung:

[Verweise]
  automatisch erstellt am 2.  9. 2005