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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 355: Fourier-Reihe und Reihenwert

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Die $ 2\pi$-periodische Funktion $ f$ sei gegeben durch

$\displaystyle f(x) := \left\{ \begin{array}{rcl} {\displaystyle \frac{3x}{\pi}}... ... ur} \quad {\displaystyle \frac{2 \pi}{3}} \leq x \leq \pi, \end{array}\right. $

$\displaystyle f(-x) := -f(x)$   für jedes$\displaystyle \quad x \in \RR. $

a) Man skizziere die Funktion $ f$ für $ -\pi \leq x \leq \pi$.
b) Man bestimme die Fourier-Reihe von $ f$.
c) Man bestimme den Wert der Reihe

$\displaystyle {\rm (1)} \quad \frac{1}{1^2} - \frac{1}{5^2} - \frac{1}{7^2} + \frac{1}{11^2} + \frac{1}{13^2} - \frac{1}{17^2} - \frac{1}{19^2} + + - - \ldots $

mit Hilfe des Wertes der Fourier-Reihe von $ f$ an der Stelle $ x= \pi/2$.
Hinweis: Die in (1) auftretenden Nenner sind die Quadrate der ungeraden, nicht durch 3 teilbaren natürlichen Zahlen.
(Aus: H 92 Tietz)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 2.  9. 2005