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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 366: Jordan-Normalform

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Sei $ A$ eine $ 4\times4$-Matrix mit genau einem Eigenwert $ \lambda$.
a)
Bestimmen Sie alle Jordan-Normalformen von $ A$, die nicht durch Permutationen auseinander hervorgehen, sowie die zugehörigen geometrischen Vielfachheiten.
b)
Welche Fälle in a) kann man nicht aufgrund der geometrischen Vielfachheit unterscheiden? Warum können Rangbetrachtungen hier weiterhelfen?
c)
Sei nun

$\displaystyle A=\left(\begin{array}{rrrr} \frac{1}{2} & 0 & 0 & -\frac{1}{2} \\... ... & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ \frac{1}{2} & 0 & 0 & \frac{3}{2} \end{array}\right). $

Bestimmen Sie die Jordan-Normalform $ J$ von $ A$ und die zugehörige Transformationsmatrix.
d)
Lösen Sie das lineare Differentialgleichungssystem $ Y'=AY$.
e)
Geben Sie ein Beispiel von Jordan-Normalformen der Größe $ 7\times7$ an, die auch mit der Rangbetrachtung aus b) nicht unterscheidbar sind.

(Aus: HM III Kimmerle, WS2003/04)

Lösung:

[Verweise]
  automatisch erstellt am 2.  9. 2005