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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 367: Geraden und Kreise in der Gaußschen Zahlenebene

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Es sei $ M$ die Menge aller Geraden und Kreise in der komplexen Zahlenebene. Zeigen Sie:
a)
Jedes Element aus $ M$ (also eine beliebige Gerade oder Kreis) kann in der komplexen Zahlenebene durch

$\displaystyle c_1z\bar{z} - a\bar{z} - \bar{a}z + c_2 = 0$

beschrieben werden, wobei $ c_1,c_2 \in \mathbb{R}$ und $ a\in\mathbb{C}$ mit $ c_1c_2<a\bar{a}$. Umgekehrt sind alle Punktmengen, die obiger Gleichung genügen, in $ M$ enthalten.
b)
Die Menge $ M$ wird durch die Abbildung $ f(z)=\frac{1}{z}$ auf sich selbst abgebildet (d.h. Geraden und Kreise werden auf Geraden oder Kreise abgebildet).
c)
Veranschaulichen Sie das Ergebnis aus b) am Einheitskreis.
(Aus: HM III Kimmerle, WS2003/04)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 2.  9. 2005