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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 41: Gleichungssysteme, lineare Abbildungen, Matrizen, Multiple Choice

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Seien $ \alpha$ und $ \beta$ lineare Abbildungen von $ \mathbb{R}^{\mathit n}$ nach $ \mathbb{R}^{\mathit n}$, mit Matrixdarstellungen $ A$ bzw.$ B$, und sei $ b$ ein Vektor in $ \mathbb{R}^{\mathit n}$. Kreuzen Sie an, welche der folgenden Aussagen stets wahr sind, und begründen Sie Ihre Antworten.
Aus $ A^2=A$ folgt $ A=0_n$ oder $ A=E_n$  wahr $ \bigcirc $  falsch $ \bigcirc $
$ B$ invertierbar $ \Longrightarrow {\mathrm{ker}}(\beta\circ\alpha)={\mathrm{ker}}(\alpha)$  wahr $ \bigcirc $  falsch $ \bigcirc $
$ A^{\mathit m}=0_n$, für ein $ m\in\mathbb{N} \ \Longrightarrow \ E_n+A$ invertierbar  wahr $ \bigcirc $  falsch $ \bigcirc $
$ B$ invertierbar und $ Ax=b$ lösbar $ \Longrightarrow \ (B^{-1}AB)\, x=b$ lösbar  wahr $ \bigcirc $  falsch $ \bigcirc $

(Aus: HM I WS 97/98)

Lösung:

[Verweise]
  automatisch erstellt am 2.  9. 2005