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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 438: Anwendung des Residuensatzes

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
a) Geben Sie sämtliche Nullstellen des Polynoms $ p(z) \ = \ z^4 - z^2 + 1 $ in der Form $ a + {\rm {i}} b $ und in der Polarkoordinatendarstellung $ r e^{ {\rm {i}} \varphi} $ an.

Hinweis: Es gilt: $ \dfrac{1}{2} \ + \ {\rm {i}} \ \dfrac{\sqrt{3}}{2} \ = \ e^{ \frac{\pi}{3} \ {\rm {i}} } $ .
b) Berechnen Sie die Residuen der Funktion

$\displaystyle f(z) \ = \ \dfrac{e^{{\rm {i}} z}}{z^4 - z^2 + 1} $

an den in der oberen Halbebene $ \Im z > 0 $ gelegenen Polstellen von $ f(z) $ .
c) Berechnen Sie mit Hilfe des Residuensatzes das Integral

$\displaystyle \displaystyle \int \limits_{K} f(z) \, dz \ = \ \displaystyle \int \limits_{K} \dfrac{e^{{\rm {i}} z}}{z^4 - z^2 + 1} \, dz $

für die Kurve $ K $, die in $ (R,0) $ beginnt, auf dem Teil des in $ \Im z \ge 0 $ liegenden Kreises $ \vert z\vert = R $ bis $ (-R,0)$ verläuft und dann auf der reellen Achse nach $ (R,0) $ zurückgeht. Dabei sei $ R > 2 $ .
d) Bestimmen sie mit Hilfe von c) den Wert des uneigentlichen Integrales

$\displaystyle \displaystyle \int \limits_{- \infty}^{\infty} \dfrac{\cos x}{x^4 - x^2 + 1} \, dx \ . $

(Aus: HM III Kimmerle, WS2003/04)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 2.  9. 2005