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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 54: Aussagen über Eigenwerte von Matrizen

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Gegeben seien zwei Matrizen $ A$ und $ B$ der Größe $ n\times n$. Sei außerdem $ \lambda$ ein Eigenwert von $ A$ und $ \mu$ ein Eigenwert von $ B$. Kreuzen Sie an, welche der folgenden Aussagen wahr bzw.falsch sind, und begründen Sie Ihre Antworten.

$ A$ ist nicht regulär $ \Longleftrightarrow$ alle Eigenwerte von $ A$ sind 0  wahr $ \bigcirc $  falsch $ \bigcirc $
$ A$ ist regulär $ \Longleftrightarrow$ alle Eigenwerte von $ A$ sind $ \neq 0$  wahr $ \bigcirc $  falsch $ \bigcirc $
$ \lambda^n$ ist stets Eigenwert von $ A^n$  wahr $ \bigcirc $  falsch $ \bigcirc $
$ \lambda\mu$ ist stets Eigenwert von $ AB$  wahr $ \bigcirc $  falsch $ \bigcirc $
$ \lambda+\mu$ ist stets Eigenwert von $ A+B$  wahr $ \bigcirc $  falsch $ \bigcirc $
$ A$ ist regulär $ \Longrightarrow$ $ \lambda^{-1}$ ist Eigenwert von $ A^{-1}$  wahr $ \bigcirc $  falsch $ \bigcirc $
$ A^m=0_n$, für ein $ m\in\mathbb{N}$ $ \Longleftrightarrow$ 0 ist Eigenwert von $ A$  wahr $ \bigcirc $  falsch $ \bigcirc $

(Aus: HM I mach, bau, umw WS 2001/02)

siehe auch:

[Lösungen]
  automatisch erstellt am 2.  9. 2005