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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 56: Komplexe und konjugiert komplexe Eigenwerte

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Im folgenden sei $ A$ jeweils eine Matrix aus $ \mathbb{C}^{n\times n}$.
a)
Zeigen Sie: Sind alle Einträge von $ A$ reell und ist $ \lambda\in\mathbb{C}$ Eigenwert von $ A$, so ist auch $ \overline{\lambda}$ Eigenwert von $ A$. Welcher Zusammenhang besteht zwischen den zu $ \lambda$ und $ \overline{\lambda}$ gehörigen Eigenvektoren?
b)
Es gelte $ A^4=E$. Welche komplexen Zahlen kommen als Eigenwerte von $ A$ in Frage?
c)
Es gelte $ A^4+A^2+E = 0$. Kann $ A$ reelle Eigenwerte haben?

(Aus: HM I WS 97/98)

Lösungen:

[Verweise]
  automatisch erstellt am 2.  9. 2005