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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 66: Beweis von Summenformeln, Aussagen zur linearen Algebra, Multiple Choice

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

a)
Beweisen Sie für alle $ n\in\mathbb{N}$ die folgenden Formeln:


i)      $ {\displaystyle{\sum_{k=1}^n (2k-1)^2 = \frac{1}{3}\,n\,(4n^2-1)}}$           ii)      $ {\displaystyle{\sum_{k=0}^n \left({n\atop k}\right) = 2^n}}$

b)
Sei $ z\in\mathbb{C}$, $ A\in\mathbb{C}^{n\times n}$ und $ B\in\mathbb{C}^{m\times n}$. Sei außerdem $ \beta$ die durch $ x\longmapsto Bx$ definierte lineare Abbildung und $ Q$ die durch

$\displaystyle Q:\, 3x_1^2-2x_2^2+3x_3^2+6x_1x_3-1=0 $

gegebene Quadrik. Kreuzen Sie an, welche der folgenden Aussagen stets wahr bzw. falsch sind, und begründen Sie Ihre Antworten.

$ z+\overline{z}=0$ $ \Longleftrightarrow$ $ z\in\mathbb{R}$  wahr $ \bigcirc $  falsch $ \bigcirc $
Die Abbildung $ f: \mathbb{C}\longrightarrow \mathbb{R}$, $ z\longmapsto \vert z\vert$, ist surjektiv  wahr $ \bigcirc $  falsch $ \bigcirc $
$ {\rm {Ker}}\,(\beta)\subset\mathbb{C}^n$  wahr $ \bigcirc $  falsch $ \bigcirc $
$ {\rm {det}}\,(A+A^{\rm {t}})=2\,{\rm {det}}\,(A)$  wahr $ \bigcirc $  falsch $ \bigcirc $
0 ist $ k$-facher Eigenwert von $ A$ $ \Longleftrightarrow$ $ {\rm {Rg}}\,(A)=n-k$  wahr $ \bigcirc $  falsch $ \bigcirc $
$ Q$ beschreibt einen hyperbolischen Zylinder  wahr $ \bigcirc $  falsch $ \bigcirc $

(Aus: HM I, 1993-2002)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 2.  9. 2005