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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 67: Aussagen über positiv definite Matrizen

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Eine Matrix heißt positiv definit, wenn sie nur positive Eigenwerte hat. Zeigen Sie, daß jede symmetrische, positiv definite Matrix $ A\in\mathbb{R}^{n\times n}$ die folgenden Eigenschaften besitzt:
a)
Für jeden Eigenvektor $ v$ von $ A$ gilt: $ v^{\rm {t}}Av>0$.
b)
Für jeden Vektor $ w\in\mathbb{R}^n\setminus\{0\}$ gilt: $ w^{\rm {t}}Aw>0$.
c)
Für jede reguläre Matrix $ T\in\mathbb{R}^{n\times n}$ gilt: $ T^{\rm {\,t}}AT$ ist symmetrisch und positiv definit.

(Aus: HM I mach, bau, umw WS 2001/02)

siehe auch:

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  automatisch erstellt am 2.  9. 2005