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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 685: Randwertproblem zweiter Ordnung, Greensche Funktion

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Gegeben ist das Randwertproblem

\begin{displaymath} \begin{array}{rcl} (tu')'-u/t&=&f \\ u(a)&=&0\ ,\quad 0<a<1 \\ u(1)&=&0\ . \end{array}\end{displaymath}

a)
Die Funktionen $ t$ und $ 1/t$ bilden ein Fundamentalsystem für die homogene Differentialgleichung. Zeigen Sie, daß das Randwertproblem eindeutig lösbar ist.
b)
Berechnen Sie die Green'sche Funktion des Randwertproblems und bestimmen Sie die Lösung $ u_a(t)$ für den Fall $ f(t) = 1/t$. Skizzieren Sie die Löungskurven für $ a << 1$.
c)
Bestimmen Sie $ \displaystyle{u_0(t):=\lim_{a \to 0}u_a(t)}$ und zeigen sie, daß $ u_0(t)$ zwar die Differentialgleichung, nicht aber die Randbedingungen erfüllt.
(Autor: Klaus Höllig)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 18.  1. 2017