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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 696: Eigenwertproblem auf dem Viertelkreis

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Das Eigenwertproblem $ \Delta u+\lambda u = 0$ soll auf dem Viertelkreis

$\displaystyle D: \; x^2+y^2 < 1, \quad x> 0, \; y> 0 $

für Nullrandbedingungen gelöst werden.

a)
Die Differentialgleichung lautet in Polarkoordinaten

$\displaystyle r^2 u_{rr}+r u_r + u_{\varphi \varphi} + r^2 \lambda u = 0\ . $

Geben Sie Randbedingungen an.
b)
Separieren Sie die Differentialgleichung und betrachten Sie zunächst die Gleichung für $ \varphi$. Welche Werte sind aufgrund der Randbedingungen für die Separationskonstante $ \gamma$ möglich?
c)
Zeigen Sie, dass die Gleichung durch die Skalierung $ r \mapsto \sqrt{\lambda}\,r$ in die Besselsche Differentialgleichung übergeht.
d)
Geben Sie die Eigenwerte und Eigenfunktionen an.

(Autor: Klaus Höllig)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 18.  1. 2017