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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 697: Differentialgleichung der Höhenlinien, Weg des steilsten Abstiegs

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Die Höhe eines Geländeprofils sei durch die zweimal stetig partiell differenzierbare Funktion $ H(x,y)$ gegeben. Betrachtet man bei den zugehörigen Höhenlinien $ H(x,y)=c$, $ c\in\mathbb{R}$, die Variable $ y$ als lokal von $ x$ abhängig, so erhält man durch beidseitige Differentiation von $ H(x,y(x))=c$ nach $ x$ eine Differentialgleichung.
a)
Bestimmen Sie diese Differentialgleichung und geben Sie deren Typ an.

b)
Welchem Anfangswertproblem genügt der Weg, den ein Bergsteiger im Punkt $ P=(x_0,y_0)$ für den schnellsten Abstieg einschlagen muss?

c)
Die Höhenlinien eines Geländeprofils erfüllen die Differentialgleichung

$\displaystyle y'(4-2y)=-2+2x\,. $

Berechnen und skizzieren Sie die Höhenlinien. Ermitteln Sie die Profilfunktion $ H$, wenn der höchste Punkt des Geländes die Höhe 2 hat.

Bestimmen und skizzieren Sie den Weg des schnellsten Abstiegs für $ P=(2,2)$.

(Autor: Joachim Wipper)
[Verweise]
  automatisch erstellt am 2.  9. 2005