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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 81: Eigenwerte und Eigenvektoren einer zyklischen 3x3-Matrix mit Parameter

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Zeigen Sie, dass die Vektoren

$\displaystyle v_1=(1, 1, 1)^{\rm {t}}, \quad v_2=(1, \omega, \omega^2)^{\rm {t}}, \quad v_3=(1, \omega^2, \omega^4)^{\rm {t}} $

mit $ \omega={\text{e}}^{\frac{2\pi{\mathrm{i}}}{3}}$, Eigenvektoren der zyklischen Matrix

$\displaystyle C=\left(\begin{array}{ccc} 0 & a & 1 \\ 1 & 0 & a \\ a & 1 & 0\end{array}\right) $

sind, und bestimmen Sie die zugehörigen Eigenwerte. Für welche $ a$ sind alle Eigenwerte reell, für welche $ a$ rein imaginär?
(Aus: HM I, WS 1990/91)

Lösung:

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  automatisch erstellt am 12.  3. 2018