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Mathematik-Online-Aufgabensammlung:

Aufgabe 87: Brennpunkt und Lichtstrahlreflexion in Ellipse

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z
Im $ \mathbb{R}^2$ sei die Ellipse $ {\cal{E}}:$ $ {\displaystyle{\frac{x_1^2}{a^2}+\frac{x_2^2}{b^2}}}$ $ \,-1=0$ , mit $ a>b$ , gegeben.
Die Punkte $ F_1=(-c, 0)$ und $ F_2=(c, 0)$ , mit $ c=\sqrt{a^2-b^2}$ , werden als Brennpunkte von $ {\cal{E}}$ bezeichnet. Die Zahl $ \varepsilon=c/a$ heißt Exzentrizität, die Geraden $ \ell_{1/2}: \ x_1=\pm\,a^2/c$ heißen Leitlinien von $ {\cal{E}}$ . Zeigen Sie:
a)
$ d\,(P,F_1)+d\,(P,F_2)\,=\,2a$ , für jeden Punkt $ P\in{\cal{E}}$
b)
$ {\displaystyle{\frac{d\,(P,F_1)}{d\,(P,\ell_1)}}}$ $ =$ $ {\displaystyle{\frac{d\,(P,F_2)}{d\,(P,\ell_2)}}}$ $ =\,\varepsilon$ , für jeden Punkt $ P\in{\cal{E}}$
c)
Jeder von $ F_1$ ausgehende Lichtstrahl wird bei Reflexion an $ {\cal{E}}$ in den Punkt $ F_2$
geworfen und umgekehrt.

(Aus: HM I mach, bau, umw WS 2001/02)

Lösung:

[Verweise]
  automatisch erstellt am 14. 12. 2007